Rewind Επιστήμη Πρωτοσέλιδο

Η «έξυπνη» κούπα του φιλοσόφου Πυθαγόρα και η δίκαιη λειτουργία της

27 Jun, 2017 On The Record

Η «κούπα του Πυθαγόρα» ή αλλιώς «δίκαιη κούπα» που κατασκεύασε ο Σάμιος φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής είχε ως στόχο την υπόδειξη και την τήρηση του μέτρου, «μέτρον άριστον».

Η «δίκαιη κούπα», η οποία χρονολογείται περίπου από τον 6ο αιώνα π.Χ., είναι ένα αριστούργημα της υδραυλικής τεχνολογίας των αρχαίων Ελλήνων, αλλά και ένα μέσο διδαχής. Πέρα από τον περιορισμό της κατανάλωσης κρασιού μέσα από ένα «έξυπνο ποτήρι», ο Πυθαγόρας ήθελε να διδάξει στους μαθητές του την εγκράτεια και την τήρηση του μέτρου. Οταν ξεπερνιέται το μέτρο πρόκειται για «ύβρις», η οποία έχει ως αποτέλεσμα την τιμωρία, «τίσις». Ολοι οι άνθρωποι οφείλουν να απολαμβάνουν με μέτρο όσα τους παρέχονται δίχως να επιζητούν εναγωνίως περισσότερα.

Η λειτουργία

Στο εσωτερικό της υπάρχει χαραγμένη μία γραμμή, η οποία οριοθετεί την ποσότητα του κρασιού. Αν ο χρήστης δεν υπερβεί τη γραμμή, τότε μπορεί να απολαύσει το «ποτό» του. Ωστόσο, αρκεί μία παραπάνω σταγόνα για να ξεπεράσει τα όρια της γραμμής και τότε η κούπα να αδειάσει, χύνοντας όλο το κρασί από τη βάση της.

Η δομή

Στην κεντρική στήλη υπάρχει μία τρύπα η οποία επικοινωνεί με την τρύπα που υπάρχει στο κάτω μέρος της κούπας μέσω ενός σωλήνα. Το σχήμα του σωλήνα μπορούμε να το παρομοιάσουμε σαν ένα καλαμάκι το οποίο το έχουμε λυγίσει πάρα πολύ.

Όσο η κούπα γεμίζει με κρασί μέχρι το όριο (διακεκομμένη γραμμή) παράλληλα γεμίζει και ο σωλήνας που βρίσκεται εντός της στήλης. Το ύψος του κρασιού είναι το ίδιο λόγω της αρχής των συγκοινωνούντων δοχείων.
Η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια του κρασιού είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση (patm), όση είναι και η πίεση στην τρύπα του κάτω μέρους του ποτηριού.

Όταν όμως το ύψος του ποτηριού περάσει την διακεκομμένη γραμμή, τότε γεμίζει με κρασί ο σωλήνας και υπάρχει διαρροή από το κάτω μέρος του ποτηριού μέχρι να αδειάσει όλο το ποτήρι.

Η ερμηνεία

Η πίεση p2 είναι είσαι με την ατμοσφαιρική πίεση άρα p2=patm όπως και η p3. Πριν εφαρμόζουμε τον νόμο του Bernoulli στα σημεία (1) και (2), θα πρέπει να σημειώσουμε ότι επειδή η διατομή του σωλήνα στα σημεία (1) και (2) είναι ίδια Α1=Α2, τότε λόγω της εξίσωσης συνέχειας, η ταχύτητα του κρασιού στα αντίστοιχα σημεία είναι ίδια, υ1=υ2=υ. Επίσης ο όρος ρgh2 είναι μηδενικός γιατί θεωρούμε το σημείο (2) ως το επίπεδο μηδενικής δυναμικής βαρυτικής ενέργειας.

p1 + ½·ρ·υ² + ρgh = p2 + ½·ρ·υ²
ή
p1 + ρgh = patm
ή
p1 = patm ‒ ρgh

Όμως η πίεση στο σημείο (3) εξακολουθεί να είναι είσαι με την ατμοσφαιρική. Επομένως η πίεση στο (1) είναι μικρότερη από την πίεση στο (3), το οποίο σημαίνει ότι το κρασί θα κινηθεί από υψηλότερες σε χαμηλότερες πιέσεις μέχρι να περάσει όλο μέσα στο σωλήνα και να χυθεί από την κάτω τρύπα.

Αυτή η μέθοδος του Πυθαγόρα είναι γνωστή και ως «αρχή του σιφωνισμού».

Μπορεί κάποιος να σκέφτηκε, «ισχύει η αρχή αυτή για κάθε υγρό ανεξαρτήτου πυκνότητας;»
Η απάντηση είναι θετική. Ακόμα και αν γεμίσουμε την κούπα με υδράργυρο, ο οποίος έχει πολύ μεγαλύτερη πυκνότητα από το νερό (13 φορές μεγαλύτερη), τότε θα παρατηρήσουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία. Δες και τα gif που ακολουθούν.

Όμως δημιουργείται το εξής ερώτημα: θα μπορούσαμε με κάποιον τρόπο να παρακάμψουμε τον περιορισμό που μας έβαλε ο Πυθαγόρας με την κούπα του;
Ναι, θα μπορούσαμε! Αν γεμίζαμε με λίγο υδράργυρο το ποτήρι και στη συνέχεια βάζαμε νερό. Στην περίπτωση αυτή το βάρος του νερού δεν είναι ικανό στο να σπρώξει τον πολύ βαρύτερο υδράργυρο προς τα πάνω. Επομένως μπορούμε να πιούμε όσο κρασί θέλουμε (με λίγο υδράργυρο μαζί). Δες και το gif που ακολουθεί.

Με πληροφορίες από www.sciencephysics4all.com